Bonjour, J'ai un dm à rendre incessamment sous peu et il se trouve qu'un exercice (oui, encore un!) en particulier me donne bien du fil à retordre. Si à tout ha

Réponse :

Explications étape par étape

Bonjour,

Nous sommes dans une configuration où le théorème de Thales s'applique

à savoir deux droites sécantes coupées par deux droites parallèles

(BC) et (NM) sont parallèles

(AB) et (AC) sont les deux droites sécantes en A

1.

le théorème de Thales nous assure la proportionalité c'est-à-dire

AB / AN = AC / AM = BC / NM

ou encore AB = ( AN * BC ) / NM

Or AN = x, BC = 2x et NM = 8

le théorème de Thales nous permet d'écrire que  

AB = ( x * 2x ) / 8 or 8 = 2 * 4 donc

[tex]AB = (2 * x^2) / (2*4)[/tex]

les 2 s'éliminent et

[tex]AB = x^2 / 4[/tex]

pour tout x de [0;10]

2.

si x = 8 alors [tex]AB = 8^2 / 4 = (8*8)/4 = (8*4*2)/4 = 8*2 = 16[/tex]

or AC = 16  

et BC = 2 * 8 = 16

donc AB = AC = BC  

il s'agit d'un triangle équilatéral

3.

Le périmètre du triangle ABC est [tex]AB + BC + AC = x^2/4 + 2x + 16[/tex]

mettons tout sur le même dénominateur  

[tex]\frac{x^2}{4} + 2x + 16 = \frac{x^2}{4} + \frac{4*2x}{4} + \frac{4*16}{4}= \frac{x^2+8x+64}{4}[/tex]

4.

[tex]k(x) = x^2 + 8x - 105[/tex]

Est-ce égal à [tex](x+4)^2 - 121[/tex] ?

Ben, évaluons cette expression

c'est de la forme d'une identité remarquable

soit a et b réels quelconque

[tex]a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)[/tex]

ici a = x+4

et b = 11 car [tex]11^2 = 121[/tex]

donc

[tex](x+4)^2 - 121 = (x+4)^2 - 11^2 = (x+4-11)(x+4+11) = (x-7)(x+15)[/tex]

et développons

[tex](x-7)(x+15) = x(x+15) -7(x+15) = x^2 +15x -7x -7*15 = x^2 + 8x - 105[/tex]

et c'est bien l'expression de k(x)

donc [tex]k(x) = x^2 + 8x - 105 = (x+4)^2 - 121\ ( = (x-7)(x+15) )[/tex]

5.

Pour résoudre k(x) = 0 nous allons utiliser la forme qui nous convient le mieux à savoir (x-7)(x+15)

k(x) = 0

<=> ( (x-7)(x+15) = 0 ) or pour a et b réels ( ab = 0 ) <=> ( a = 0 ou b = 0 )

Donc ( (x-7)(x+15) = 0 )

<=> ( x-7 = 0 ou x+15 = 0 )

<=> ( x = 7 ou x = -15 )

6. et maintenant cette question qui a l'air de sortir de nulle part...

il doit bien y avoir un lien avec les questions précédentes

regardons celà de plus près

Qu'est-ce que cela veut dire que le périmètre du triangle ABC est égal a 42,25

le périmètre du triangle ABC est [tex]\frac{x^2+8x+64}{4}[/tex]

Si c'est égal à 42,25 alors

[tex]\frac{x^2+8x+64}{4} = 42,25[/tex]

Multiplions par 4

[tex]x^2+8x+64 = 4*42,25 = 169\\ <=> x^2+8x+64-169 = 0\\ <=> x^2+8x-105 = 0\\ <=> k(x) = 0[/tex]

et nous sommes revenus á la question précedente

dons la valeur de x pour que le périmètre du triangle ABC soit égal à 42,25 est x = 7

( remarque: x= -15 est écartée car l'énoncé s'intéresse à des valeurs de x dans [0;10] )