bonjour sil vous plait aidez moi exo 2

Réponse :

Explications étape par étape

1) a   f(x) = cos x /( 1 +2sinx)²  

si  u(x)= 1 + 2sinx       u'(x) = 2cosx    et    f = 0,5 u' / u²

donc    une primitive de f est  F = - 0,5/ u   =  -0,5 / ( 1 + 2sinx)  

2) k - g =  cosx(1+2sinx) /(1+2sinx)²   -  sin2x  /( 1 + 2sinx)²

=( cosx  +  2sinxcosx  - sin2x ) / (1+2sinx)²

= (cosx) / ( 1+2sinx)²

= f

donc  H = F  

et  K - G  =  F  

G = K - F   + constante

or   k = cos x/ (1+2sinx)  

 = u' / u  

K  = ln (u)     u >0

K  = ln(  1 + 2sinx)  

G (x)= ln(  1 + 2sinx)   + 0,5 /( 1 + 2sinx)   +  constante

G(pi/4)= 1 =  ln( 1 + 2sin(pi/4) )  + 0,5/(1 +2sin (pi/4) )  +constante

constante  = 1 - ln( 1 + √2)  - 0,5/ ( 1 + √2)  

G (x)= ln(  1 + 2sinx)   + 0,5 /( 1 + 2sinx)   +   1 - ln( 1 + √2)  - 0,5/ ( 1 + √2)  

2)a)  f(x)= tan²x tan²x  

si   u =tanx     u' = 1+tan²x              

f(x)= u² ( u' -1) =  u'u²  -  u² =  u'u²  - (u' -1) =  u'u²  - u' + 1

F = 1/3 u^3   - u   + x

F(x)= 1/3 (tanx)^3   - tanx   +  x

b) f=  sinx sin²xcos²x = sinx(1-cos²x)(cos²x)

=sinxcos²x  - sinx(cosx)^4

F(x)= -1/3 (cosx)^3  +  1/5(cosx)^5  

c) f= (cosx)^4 (sin²x) = (cosx)² (cosx)² (sinx)²  = (cosx)²(cosxsinx)²

=1/8(1+cos2x)(sin2x)²  

=1/8(sin2x)²  + 1/8cos(2x)(sin2x)²

=1/16  - 1/16cos(4x)  + 1/8cos(2x)(sin2x)²

F(x)= x/16   - 1/64 sin(4x)   +  1/48  sin(2x)^3