Bonjour, Je suis en première et j'ai un exercice que je dois faire pour mardi qui vient et je suis bloqué je n'arrive pas à trouver la solution. Si quelqu'un p

1) On veut que l'aire de l'enclos soit de[tex]72m^2=\text{longueur de l'enclos} \times \text{largeur de l'enclos}[/tex]

Or la largeur de l'enclos est notée x, donc la longueur vaut bien [tex]\frac{72}{x}[/tex].

L'enclos est accolé à la grange donc on ne prend en compte dans le calcul du périmètre qu'une fois, soit la largeur, soit la longueur. Comme la longueur est par définition supérieure à la largeur, il est plus logique d'accoler la longueur à la grange, pour minimiser la taille de la clôture.

Le périmètre est donc (on ne compte qu'une fois la longueur) : [tex]2x+\frac{72}{x}[/tex].

2) On trouve a=6 (et f(a)=24).

3) f est dérivable sur [2,8] et, pour x dans [2,8] :

[tex]f'(x)=2+72 \times \frac{-1}{x^2}=\frac{2x^2}{x^2}+\frac{-72}{x^2}=\frac{2(x+6)(x-6)}{x^2}[/tex]

car [tex]2(x+6)(x-6)=2(x^2-36)=2x^2-72[/tex].

4) Pour x dans [2,8], [tex]x+6 \ge 0[/tex] et [tex]x^2 \ge 0[/tex], donc le signe de f'(x) est bien celui de x-6.

5) f' s'annule donc en x=6.

Traçons son tableau de variation :

x         [tex]-\infty[/tex]                6                [tex]+\infty[/tex]

f'(x)           -               0          +

f(x)      décroissante            croissante

f atteint donc son minimum en a=6, qui vaut f(a)=24.

Le périmètre vaut donc 24 m, la largeur 6m et la longueur 12m.