bonjour pourriez vous m'aidez jai un dm a faire pour demain et je n'y arrive pas. F(x)= 3(x-2) au carre +1 montrer que f est strictement croissante sur [2;+∞] m

Réponse :

f(x) = 3(x - 2) + 1

montrer que f est strictement croissante sur [2 ; + ∞[

soit  a < b  tels que a > 2 et b > 2

f(a) = 3(a - 2)² + 1

f(b) = 3(b - 2)² + 1

.............................................

f(a) - f(b) = 3(a - 2)² + 1 - 3(b - 2)² - 1  = 3((a-2)² - (b-2)²)

              = 3(a-2+b-2)(a-2-b+2) = 3(a+b-4)(a-b)   or  a < b  ⇔ a-b < 0

et  a > 2

     b > 2

......................

   a + b > 4  ⇔ a + b - 4 > 0

donc f(a) - f(b) < 0 ⇔ f(a) < f(b)   donc f est strictement croissante sur [2 ; +∞[

montrer que f est strictement décroissante sur ]- ∞ ; 2]

soit  a < b tels que  a < 2 et b < 2

f(a) = 3(a - 2)² + 1

f(b) = 3(b - 2)² + 1

.............................................

f(a) - f(b) = 3(a - 2)² + 1 - 3(b - 2)² - 1  = 3((a-2)² - (b-2)²)

              = 3(a-2+b-2)(a-2-b+2) = 3(a+b-4)(a-b)   or  a < b  ⇔ a-b < 0

et  a < 2

     b < 2

......................

   a + b < 4  ⇔ a + b - 4 < 0

donc f(a) - f(b) > 0 ⇔ f(a) > f(b)   donc f est strictement décroissante sur ]-∞ ; 2]  

Explications étape par étape