aidez moi à démontrer que U(n) peut se mettre sous la forme:U(n)=a(n)+b(n)V2. ou a(n) et b(n) sont des suites de nombres entiers... on me demande de passer par

U(n)=(√2+1)^n et V(n)=(√2-1)^n

on obtient
U(1)=(√2+1)^1=1+√2
U(2)=(√2+1)^2=3+2√2
U(3)=(√2+1)^3=7+5√2
U(4)=(√2+1)^4=17+12√2
U(5)=(√2+1)^5=41+29√2
... etc

de même
V(1)=(√2-1)^1=-1+√2
V(2)=(√2-1)^2=3-2√2
V(3)=(√2-1)^3=-7+5√2
V(4)=(√2-1)^4=17-12√2
V(5)=(√2-1)^5=-41+29√2
... etc

donc
U(1)+V(1)=2√2
U(2)+V(2)=6
U(3)+V(3)=10√2
U(4)+V(4)=34
U(5)+V(5)=58√2
... etc

donc on en déduit que
U(n)=a(n)+b(n)√2
avec a(1)=1, a(2)=3 et a(n)=2a(n-1)+a(n-2) si n≥3
aussi b(1)=1, b(2)=2 et b(n)=a(n)-b(n-1) si n≥3

la suite (a(n)) représente alors la suite des nombres de Newman-Shanks-Williams premiers