Bonjour, pouvez-vous m'aider avec mon DM de maths s'il vous plaît. Je suis bloqué sur une question. Merci d'avance. Enoncé: Soit (Un) la suite définie par: Un+1

Réponse :

Explications étape par étape

Bonjour,

Nous allons démontrer par récurrence la proposition suivante

   pour tout n entier [tex]2 <= u_n <= 4[/tex]

1. Montrons que cela est vrai au rang n = 0

[tex]u_0 =2[/tex] donc la proposition est vraie au rang 0

2. Supposons que la proposition est vraie au rang n  

à savoir que 2 <= [tex]u_n[/tex] <= 4

que dire de [tex]u_{n+1}[/tex]?

Comme la fonction ln est croissante sur son domaine définition

et en utilisant l'hypothèse de récurrence

[tex]ln(u_n) <= ln(4) <= 2[/tex]

donc [tex]ln(u_n) + 2 <= 4[/tex]

donc [tex]u_{n+1} <= 4[/tex]

or [tex]ln(u_n) >= 0[/tex] car [tex]u_n >= 2[/tex]

donc [tex]u_{n+1} = ln(u_n) + 2 >= 2[/tex]

donc [tex]2 <= u_{n+1} <= 4[/tex]

3. Nous venons donc démontrer que la proposition est vraie pour tout n entier

Pour tout n entier  

[tex]0 < 2 <= u_n <= 4[/tex]