Bonjour, Je dois faire cet exercice de maths mais je n’ai aucune idée de la réponse... Merci d’avance

Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape

On va calculer le volume d'eau nécessaire pour recouvrir cette 1ère bille de rayon 4 cm.

La hauteur de l'eau est de 8 cm. OK ?

V total ( bille + eau)=π*10²*8=800π

V bille=(4/3)π*4³=256π/3

V eau seule=800π - (256π/3)=(2400π-256π)/3

V eau seule=2144π/3--->ligne (1)

Y a-t-il une nouvelle bille de rayon R≠4 cm susceptible d'être recouverte exactement par ce même volume d'eau ?

V nouvelle bille=(4/3)π*R³

La hauteur d'eau qui recouvre la bille est de "2R". OK ?

V eau + nouvelle  bille=π*10²*2R=200π*R

V eau seule après nouvelle bille enlevée=200π*R-(4/3)π*R³

V eau seule après nouvelle bille enlevée=(600π*R-4π*R³)/3--->ligne (2)

Il faut égalité entre ligne (1)et (2). OK ?

On résout donc :

(600π*R-4π*R³)/3=2144π/3

On simplifie par "π/3" qui se trouve dans les 2 membres :

-4R³+600R-2144=0

Ou :

4R³-600R+2144=0--->ligne (3)

On vérifie que R=4 est solution :

4*4³-600*4+2144=256-2400+2144=0

On peut donc mettre (R-4) en facteur dans la ligne (3).

4R³-600R+2144=(R-4)(4R²+bR+c)

On développe le membre de droite :

(R-4)(4R²+bR+c)=4R³+bR²+cR-16R²-4bR-4C

(R-4)(4R²+bR+c)=4R³+R²(b-16)+R(c-4b)-4c

Par identification avec : 4R³-600R+2144 , il faut :

b-16=0 soit b=16

c-4b=-600 ==>c=-600+4*16=-536

-4c=2144 ===>c=-2144/4=-536

Donc on résout :

(R-4)(4R²+16R-536)=0

Qui donne : R=4 , déjà connu.

A résoudre :

4R²+16R-536=0

Δ=16²-4(4)(-536)=8832 > 0

R₁=(-16+√8832)/8≈9.74      et R₂=(-16-√8832)/8≈ -13.74

On ne peut retenir que R₁ ≈9.74 cm qui rentre bien dans ce récipient de 10 cm de rayon et de hauteur 30 cm.