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Question

bonjour j’ai besoin d'aide pour les questions 2a et 2b du B svp je doit le rendre aujourd’hui voici l’énoncé: soit h la fonction définie sur l’intervalle R par h(x):-x²+2x+8

1) A l'aide de la calculatrice, émettre une conjecture sur le sens de variation de h sur [1;+inf[

2)Preuve par calcul en utilisant l’écriture h(x)=-(x-1)²+9

a)On considère deux réels u et v de [1;+inf[ tels que 1<_u
b)En étudiant le signe de la différence h(u)-h(v) établir le sens de variation de la fonction h sur [1;+inf(

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bonjour j’ai besoin d'aide pour les questions 2a et 2b du B svp je doit le rendre aujourd’hui voici l’énoncé: soit h la fonction définie sur l’intervalle R par

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1 Réponse

  • Réponse :

    Explications étape par étape

    Bonjour,

    [tex]h(x)=-x^2+2x+8[/tex]

    1. avec la calculatrice j'ai fait les calculs suivants

    x h(x)

    -10 -112

    -9 -91

    -8 -72

    -7 -55

    -6 -40

    -5 -27

    -4 -16

    -3 -7

    -2 0

    -1 5

    0 8

    1 9

    2 8

    3 5

    4 0

    5 -7

    6 -16

    7 -27

    8 -40

    9 -55

    10 -72

    11 -91

    12 -112

    On a l'impression que le maximum est 9 en x = 1 et qu'il n'y a pas de minimum

    2.

    a.

    Nous savons du cours nos identités remarquables

    comme par exemple pour tout a et b réels

    [tex](a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2[/tex]

    Utilison cette formule pour calculer [tex](x-1)^2[/tex]

    [tex](x-1)^2 = x^2 - 2x + 1[/tex]

    donc [tex]-x^2 + 2x = -(x-1)^2 + 1[/tex]

    De ce fait [tex]h(x) = -x^2 + 2x + 8 = -(x-1)^2 + 1 + 8 = -(x-1)^2 + 9[/tex]

    b.

    [tex]h(x)-9 = -(x-1)^2[/tex]

    or [tex](x-1)^2 >= 0[/tex] et on a égalité uniquement pour x = 1

    donc h(x) - 9 <= 0 et on a égalité uniquement pour x = 1

    h(x) <= 9 et on a égalité uniquement pour x = 1

    donc h a un maximum en x = 1 et sa valeur est 9

    B.

    1.

    x   h(x)

    1 9

    2 8

    3 5

    4 0

    5 -7

    6 -16

    7 -27

    8 -40

    9 -55

    10 -72

    11 -91

    12 -112

    h a tout l'air d'être décroissante pour x > = 1

    2.

    a. soit u et v deux réels supérieures à 1  

    [tex]h(u)-h(v) = -(u-1)^2+9-(-(v-1)^2+9)\\= -(u-1)^2+9+(v-1)^2-9\\= (v-1)^2-(u-1)^2[/tex]

       utilisons l'identité remarquable

       pour tout a et b réels a^2-b^2 = (a-b)(a+b)

    [tex]= (v-1-u+1)(v-1+u-1)\\= (v-u)(v-1+u-1)[/tex]

    b.

    comme u >= 1 nous avons u-1 >= 0

    comme v >= 1 nous avons v-1 >= 0

    Ainsi v-1+u-1 >= 0

    donc le signe de h(u)-h(v) est le signe de (v-u)

    donc pour u <= v (v-u) >= 0 donc h(u)-h(v) >= 0 donc h(u) >= h(v)

    donc h est décroissante sur [tex][1;+\infty[[/tex]

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