Bonjour, pouvez-vous m'aider à dériver et étudier les variations de la fonction sur leur ensemble de définition. Merci d'avance.

Réponse :

Bonsoir f(x)=e^x+e^-x.  Etudions cette fonction

Explications étape par étape

1)Domaine de définition   Df=R

2)limites si x tend vers -oo f(x) tend vers (0+)+(+oo)=+oo

si x tend vers +oo ,f(x) tend vers +oo+(0+)=+oo

3)Dérivée f'(x)=e^x-e^(-x)=e^x-1/e^x=[(e^x)²-1]/e^x

e^x étant toujours >0  f'(x)=0 si (e^x)²-1=0 qui s'écrit (e^x -1)(e^x +1)=0

f'(x)=0 si e^x-1=0  donc si x=0 l'autre terme (e^x +1) étant toujours>0

f'(x) est donc du signe de e^x -1

4)Tableau de signes de f'(x) et de variations de f(x)

x   -oo                                          0                           +oo

f'(x) .....................-..............................0..............+..............

f(x)  +oo.........décroît......................f(0)...........croît........+oo

f(0)=1+1=2